Proje Özeti

i.   Bu projenin amacı tM Yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftlerini tanımlamaktır. Ayrıca bu çalışmada izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri ile ilgili çeşitli özellikler incelenecektir. Bu projede infinitesimal lineer dönüşümlere bakılacak olup tM Yarı-tanjant demete (0,2) tipli tensor alanlarının dikey, tam ve yatay liftleri ile bunlara ait çeşitli geometrik özellikler incelenecektir. Ayrıca bu proje ile güzel kare dönüşümlerine yeni bir örnek sunulması amaçlanmaktadır.

ii. Yano ve Ishihara (1967) [24] tanjant demette konneksiyonların ve tensör alanlarının yatay liftleriyle ilgili çalışmalarda bulunmuşlardır. Morimoto (1970) [10] tanjant demette tensör alanlarının ve konneksiyonların liftleri hakkında çalışmalarda bulunmuştur. Yano ve Petterson (1967) [27] çalışmasında lift konusu, kotanjant demet için de incelenmiştir. Yano ve Ishihara (1973) [23] çalışmasında ise, hem tanjant hem de kotanjant demetlerdeki dikey, tam, yatay ve diagonal liftlerle ilgili elde edilmiş önemli sonuçlara yer verilmiştir. Yarı-tanjant demet ise Duc (1979) [3] tarafından tanımlanmış olup yarı-tanjant demete ait bazı özellikleri Vishnevskii (2002) [20] tarafından incelenmiştir. Yarı-tanjant demete Lie ve kovaryant türevlerinin tam liftleri ise Salimov ve Kadıoğlu (2000) [15] tarafından çalışılmıştır. Ayrıca, yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonlar ve bunların bazı özellikleri (eğrilik, burulma tensörleri ile Lie türevleri) (Vishnevskii, 2002; Vishnevskii vd., 1985) [19,20] de çalışılmıştır. Bu projede ise Vishnevskii (2002) [20] tarafından başlatılan yarı-tanjant (pull-back) demette izdüşümlü lineer konneksiyonların liftleri araştırılacak ve yarı-tanjant (pull-back) demette izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri tanımlanıp, bunlarla ilgili çeşitli lift problemleri çalışılacaktır. Daha sonra ise yarı-tanjant demette güzel kare (good square) dönüşüme ve infinitesimal lineer dönüşümlere bakılacaktır. Ayrıca yarı-tanjant (pull-back) demete (0,2) tipli tensor alanlarının dikey, tam ve yatay liftleri ve bu liftlerle ilgili özellikler incelenecektir. Bu projede son olarak kotanjant demet T*M izdüşümü yardımıyla tanjant demetin TM pull-back (yarı-tanjant tM) demeti tanımlanacak ve bu demete tam ve yatay liftler incelenecektir. Proje 24 aya tamamlanacak olup 4 önemli aşamadan oluşacaktır:

1. İzdüşümlü lineer konneksiyonların tam liftleri, güzel kare (good square) dönüşümü ve infinitesimal lineer dönüşümler, 2. Yarı-tanjant (pull-back) demette metrikler, 3. İzdüşümlü lineer konneksiyonların yatay liftleri,

4. Kotanjant demet T*M izdüşümü yardımıyla tanımlanan tanjant demetin TM pull-back (yarı-tanjant tM) demetine tam ve yatay liftler.

Konu seçimi ve özgün değeri: Yarı-tanjant demet, tanjant demetten farklı olup bir pull-back demeti tanımlar. Yapılacak bu çalışma ile pull-back demetlerde izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri ayrıntılı olarak analiz edilecek, konneksiyon katsayıları hesaplanacak ve elde edilen bulgular ile yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonların çeşitli lift problemleri ele alınacaktır. Projedeki yarı-tanjant demette izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftlerinin araştırılması daha sonra incelenecek olan yarı-demet teorisinde şimdiye kadar çözülmemiş bazı problemlerin çözümünde büyük mesafe alınmasını sağlayacaktır. Proje, yarı-tanjant demetindeki izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri ile müzikal izomorfizm kullanılarak (yarı-tanjant demetten yarı-kotanjant demete tanımlı) yarı-kotanjant demetteki izdüşümlü lineer konneksiyonların tam ve yatay liftleri arasındaki ilişkinin incelenmesine önemli katkı sağlayacaktır. Ayrıca yarı-tanjant demetlerin Güzel kare (good square) dönüşümüne somut bir örnek olduğu görülecektir. Tanjant demette yer alan metrikler non-dejenere (regüler) metriklerdir. Yarı-tanjant demetteki metriklerin ise dejenere (singüler) metrik olması ön görülmektedir. Fizik alanında ve diferensiyel geometride dejenere metrikler önemli bir öneme sahip olup bu metriklerle çok sayıda çalışmalar yapılmaktadır. Dolayısıyla elde edilecek yeni dejenere metrikler ile gelecekte çok sayıda çalışmalar yapılacaktır.

iii. Proje ile ilgili olarak, kuramsal temel, genel metotlar ve araştırma teknikleri olarak aşağıdakiler kullanılacaktır:

1. Tanjant ve yarı-tanjant demet geometrisi (Kuramsal temel-Tanjant ve yarı-tanjant demetler ve bu demetlerdeki liftler ile çeşitli operatörler)

2. Klasik tensör analizi (indislerin yani lokal koordinatların kullanımı)

3. Kovaryant diferensiyelleme formalizmi (global inceleme tekniği).

iv. Proje başarı ile sonuçlandığı takdirde en az 1 makalenin uluslararası indeksli dergilerde 3 makalenin ise uluslararası hakemli dergilere yayınlama imkanı öngörülmektedir. Ayrıca en az 4 uluslararası bildiri planlanmaktadır. İleri zamanlarda çıkarmayı umut ettiğim lisansüstü İngilizce yayın olacak Yarı-demet teorisi kitabım için önemli bir içerik teşkil edecektir. Proje konuları 1 doktora tezi ve 1 yüksek lisans tezi eşliğinde tamamlanacaktır. Proje güncel konular olan yarı-kotanjant demet geometrisine ve lift teorisine katkıda bulunacaktır. Ayrıca gelecekte tüme varım yöntemi kullanılarak proje çıktıları ile yarı-demet teorisi için genel sonuçlar elde edilecektir.