İki Boyutlu Hiperbolik Bir Problemde Lineer Olmayan Optimizasyon ile Ters Katsayı Belirleme
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Atatürk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2024
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: FAİKA DERYA ŞENDUR
Danışman: Murat Subaşı
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Amaç: Bu çalışmanın amacı, iki boyutlu hiperbolik bir başlangıç-sınır değer problemde, çözüme ait bir final anı gözlemi kullanılarak problemde yer alan bir katsayı fonksiyonunun belirlenmesini incelemektir. Bu doğrultuda, önce ele alınan hiperbolik başlangıç-sınır değer probleminin direkt çözümü için etkili bir metodun kullanılması, ardından bir optimizasyon tekniğinin güncellenerek bu tür problemlerde katsayı fonksiyonunu belirlemesi sağlanacaktır. Bu güncellenmiş tekniğin, matematiksel modellemeye yeni bir yaklaşım getirmesi hedeflenmektedir. Ayrıca, hazırlayacağımız simülasyonlar ile bu tür problemlerde çözümün etkili bir şekilde elde edilmesi amaçlanmaktadır. Yöntem: Bu tez çalışması, iki boyutlu hiperbolik bir başlangıç-sınır değer probleminde, çözümün bir final anı gözleminden yola çıkarak ters katsayı fonksiyonunun belirlenmesiyle ilgilidir. Direkt problemin çözümü, zayıf çözüm yaklaşımı ve sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilmiştir. Ters problem kısmında, katsayı fonksiyonunun belirlenmesi için, lineer olmayan en küçük kareler optimizasyon yöntemlerinden Levenberg–Marquardt yöntemi güncellenerek probleme uyarlanmıştır. Bu aşamada, klasik Levenberg–Marquardt yöntemine aday parametre fonksiyonları adapte edilmiş ve yerleştirilen ağırlık katsayıları sayesinde optimizasyon süreci başarıyla tamamlanmıştır. Ayrıca, MATLAB programı kullanılarak hem direkt problemin hem de ters problemin çözümünü veren simülasyonlar hazırlanmıştır. İncelenen tekniğin ve hazırlanan simülasyonların başarısı, üretilen nümerik problemler üzerinden test edilmiştir. Bulgular: İncelenen problemde katsayı fonksiyonu çözümün bir final ânı gözleminden belirleneceği için nümerik yöntemlerin kullanılması kaçınılmazdır. Direkt problemin çözümünde literatürde mevcut olan sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır. Ters katsayı belirleme kısmında ise lineer olmayan en küçük kareler optimizasyon yöntemlerinden Levenberg–Marquardt yönteminin seçilen problem için güncellenmiş hali oldukça başarılı sonuçlar vermiştir. Çalışmada sunulan test problemleri üzerinden elde edilen veriler ve analiz sonuçları görsel ve sayısal olarak gösterilmiştir. Bu örnekler, araştırma bulgularının somut ve anlaşılır bir şekilde sunulmasına katkı sağlamıştır. Sonuç: İki boyutlu bir hiperbolik başlangıç-sınır değer probleminde ters katsayı belirleme problemi için Levenberg-Marquardt optimalleştirme tekniğinin uyarlanmış hali ile katsayı fonksiyonu başarılı olarak elde edilebilmiştir. Çalışmanın esas katkısı bu çözümün şimdiye kadar benzer problemlerde uygulanmamış bir optimizasyon tekniği sayesinde belirlenmiş olmasıdır. Bu katkı, oluşturulan yazılım ve simülasyonlarla desteklenerek, araştırmanın pratik uygulamalar üzerindeki etkisini güçlendirmektedir. Ayrıca, yeterli sayıda nümerik test yaparak teorik sonuçları doğrulamak, araştırmanın güvenilirliğini artırmakta ve bulguların daha geniş bir kitleye ulaşmasını sağlamaktadır. Belirlenen bu yöntemin, hiperbolik denklemler için ters problemlerin çözümünde önemli bir araç olabileceği ortaya konmuştur. Anahtar Kelimeler: Ters Problemler, Hiperbolik Denklemler, Sonlu Elemanlar Yöntemi, Sayısal Optimizasyon.